Bloque de Algebra y Geometría
Vectores Geométricos en el plano
Cuando vas en coche por una carretera, una autovía o una autopista, habrás observado que aparecen unas informaciones, representadas por flechas, que indican unas direcciones.
De igual forma, en cada vía de circulación están delimitados unos carriles para circular en un sentido o en otro.
De estos ejemplos podrás deducir que hay magnitudes en las que la dirección y el sentido desempeñan un papel muy importante: estas son magnitudes dirigidas o vectoriales y se expresan mediante vectores.
Representación de un vector
Anteriormente vimos que un vector es un objeto matemático con dirección y magnitud. La palabra “vectores” se refiere a los elementos de cualquier Rn. En R1 = R el vector es un punto, que llamamos escalar. En R2 el vector es de la forma (x1, x2) y en R3 el vector es de la forma (x1, x2, x3).
En R2:
la suma de dos vectores se define por: sean a y b vectores en R2, entonces a + b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2).
el producto escalar se define por: sea α Є R y a un vector en R2 , entonces αa = α(a1, a2) = (α a1, α a2).
Veamos el significado geométrico de la suma de vectores y el producto escalar en R2.
-Gráficamente
Un vector se representa gráficamente como un segmento orientado, identificando sus extremos mediante dos letras mayúsculas, o colocado una sola letra minúscula en al segmento.
-Analíticamente
Lo expresamos con las dos letras mayúsculas de los extremos o con la letra minúscula, en ambos casos, una pequeña flecha encima de las letras para indica su carácter vectorial. A continuación, entre paréntesis, los componentes horizontales y vertical del vector
Elementos de un vector
En un vector se pueden distinguir los siguientes elementos:
-Punto de aplicación del vector: es el origen del vector.
-Dirección del vector: coincide con la dirección de la recta que lo contiene. Por tanto, la dirección del vector AB es la misma que la del vector BA, ya que una recta tiene una sola dirección.
-Sentido del vector: es la orientación que tiene el vector en las rectas. Una recta tiene dos sentidos opuestos entre sí.
El sentido del vector viene indicado por la punta de la flecha, así, el sentido del vector
AB es opuesto al sentido del vector BA.
-Modulo del vector: es la longitud del segmento que lo representa gráficamente e indica la intensidad o el valor numérico de la medida de la magnitud. Para indicar el modulo de un vector se escribe este entre dos barras verticales:
Modulo de AB AB
Componentes de un vector
Podemos definir la posición de un vector en el plano mediante sus componentes referidas a unos ejes de coordenadas.
Para hallar las componentes de un vector basta ver cuantas unidades avanza horizontal y verticalmente desde su origen asta su extremo. Para ello hallamos la diferencia entre las coordenadas del punto extremo y el punto origen del vector.
Por ejemplo: AB (8-2, 11-3) = AB (6,8)
Modulo de un vector
Conocidas las componentes de un vector, podemos calcular el valor de su modulo. Para ello basta con hallar la hipotenusa del triangulo rectángulo cuyos catetos son las componentes del vector. En los vectores de la pagina anterior:
AB = 36 + 64 = 10 CD = 9 +16 = 65
En general:
AB = ( Xb - Xa) + (Yb - Ya)
Equivalencia de vectores
Dos vectores son equipolentes cuando tiene el mismo modulo, la misma dirección y mismo sentido.
Para que dos vectores sean equipolentes, no es necesario que tengan el mismo punto de aplicación.
Si dos vectores tienen el mismo modulo, la misma dirección, pero sentido contrario, decimos que son vectores opuestos.
Los vectores AB y CD son equipolentes y escribimos: AB = CD.
Los vectores MN y PQ son opuestos y escribimos: MN = - PQ
Cuando un vector se traslada paralelamente a si mismo se obtiene un vector equipolente al primero.
Suma de vectores
- Gráficamente:
Para sumar gráficamente dos vectores trasladamos uno de ellos paralelamente a sí mismo hasta hacer coincidir su origen con el extremo del otro vector. La vector suma será el que se obtiene tomando como origen el del ventor fijo y como extremo el del que hemos trasladado.
También podemos obtener el vector suma haciendo coincidir los orígenes de los dos vectores en un origen común y construyendo con ellos un paralelogramo. La diagonal del paralelogramo representa el vector suma de ambos vectores.
- Analíticamente:
Sean los vectores u (3,8) y v (7,-3).
Las componentes del vector suma de estos dos vectores serán iguales a la suma de las componentes respectivas de los vectores.
u (3,8) + v (7,-3) = w (3+7,8-3) = w (10,5)
Diferencia de vectores
- Gráficamente:
Para hallar la diferencia entre dos vectores trasladamos paralelamente a sí mismo el opuesto del vector sustraendo hasta hacer coincidir su origen con el extremo del vector minuendo. El vector diferencia se obtiene uniendo el origen de vector minuendo con el extremo del vector opuesto al vector sustraendo. También podemos hacer coincidir los orígenes de los dos vectores y obtener el vector diferencia uniendo el extremo del vector sustraendo con el vector minuendo.
- Analíticamente:
Sean los vectores u (2,4) y v (5,3)
Obtenemos el vector diferencia sumando al vector minuendo el opuesto del vector sustraendo.
u (2,4) + (-v) (-5,-3) = w (2-5, 4-3) = w (-3,1)
Producto de un vector por un número real
El producto de un vector v por un número real h es otro vector h · v, que cumple las siguientes condiciones:
Tiene la misma dirección que v.
Si h es mayor que 0 tiene el mismo sentido que v.
Si h es menor que 0 tiene sentido opuesto
El modulo es: h · v = h · v
Producto escalar de dos vectores
Vamos a definir una operación llamada producto escalar, cuyo resultado, a diferencia de las anteriores, no es un vector.
El producto escalar de dos vectores es igual al producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman los dos vectores.
u · v = u · v cos (u, v)
Observa que el producto escalar de dos números de cómo resultado un numero real, pues tanto los módulos de los vectores como el coseno del ángulo que forman son números reales.
Según se deduce de la expresión anterior, el producto escalar es distinto de cero cuando u = 0, v = 0 y el ángulo que forma u con v no es de 90º o 270º.
Otra forma de expresar el producto escalar es en una función de las componentes de los vectores. El producto escalar de los vectores u (u1, u2) y v (v1 , v2 ) =u1 · v1 + u2 · v1
Ejemplo
Si u = 2 , v = 4 y el ángulo que forman los dos vectores es de 30º, vamos a calcular su producto escalar.
3
U · v = 2 · 4 · cos 30º =8 · 2 = 4 3
Del producto escalar de dos vectores se pueden deducir que la condición necesaria y suficiente para que dos vectores no nulos sean perpendiculares (también se les llama ortogonales), es que su producto escalar sea cero.
En efecto, si consideramos los vectores u (1, 0) y v (0, 2), observamos que el ángulo que forman es de 90º.
Sus módulos son , respectivamente, 1 y 2. si realizamos su producto escalar:
u · v = 1· 2 cos 90º, y como cos 90º = 0 u ·v = 0
Ángulo de dos vectores
A partir de la expresión del producto escalar se puede deducir el ángulo que forman dos vectores.
Despejando cos ( u, v) en u · v = u · v cos (u, v), resulta cos
u · u
(u, v) = u · u