Matematicas de 1ero BGU
FUNCION
Concepto.-Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una función cuando de cada elemento del primer conjunto solamente sale una única flecha.
No estamos en presencia de una función cuando:
De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha.
De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas.
Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor.
A veces esta 'máquina' no funciona con determinados valores. Al conjunto de valores de la variable para los que la función existe (para los que la 'máquina' funciona) se llama dominio de definición de la función.
Una función obtiene un valor, pero esto no quiere decir que se obtengan todos los valores que se nos antojen. El conjunto de valores que se obtienen a partir del conjunto de valores del dominio de definición se llama recorrido de la función.
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces "elevar al cuadrado":
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
x --------> x2.
Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".
Usualmente se emplean dos notaciones:
x --------> x2 o f(x) = x2 .
Así, f (3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.
Entonces f (3) = 9. De igual modo f (2) = 4, f (4) = 16, f(a) = a2, etc.
Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.
Ejemplo 1
Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos
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Conjunto X |
Conjunto Y |
|
Ángela |
55 |
|
Pedro |
88 |
|
Manuel |
62 |
|
Adrián |
88 |
|
Roberto |
90 |
Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.
Ejercicios para resolver
1 Calcular el dominio de las funciones polinómicas:
1 
2 
Función Lineal
Todas las funciones lineales tienen como ecuación una expresión del tipo y=ax
Esto quiere decir que si vemos ecuaciones como y= ¾ x, o y=-3x, o x=x ya sabemos que van hacer funciones lineales.
De la misma forma, si la ecuación no se ajusta a este patrón entonces no será una función lineal
Lineal y = ax
Para representar una función utilizamos una tabla de valores y=3x para ello, elegimos unos cuantos valores para dar a la “x” pueden ser los valores que queramos una vez elegidos un valor correspondiente de la “x” que haya en la formula por ese valor
Tabla de valores para y=3x
|
X |
Y |
|
2 |
6 |
|
0 |
0 |
|
-1 |
-3 |
|
4 |
2 |
|
-3 |
-9 |
1 Elegimos los valores que utilizamos
2 sustituimos el valor en la formula y calculamos la expresión resultante
y = 3.2 = 6 y = 3.0 = 0 y = 3.(-1)= -3 y = 3.4=12 y=3.(-3)=-9
3 Esto serán los valores de y
12
-4 4
- 10
Definición: Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.
Definición f: R —> R / f(x) = a.x+b donde a y b son números reales, es una función lineal.
Este último renglón se lee: f de R en R tal que f de equis es igual a a.x+b
Por ejemplo, son funciones lineales f: f(x) = 2x+5 , g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4
Definición: Las funciones lineales son polinomios de primer grado.
Funciones Cuadráticas
Si en un cuadrado aumentamos en 6 unidades dos lados paralelos obtenemos un rectángulo. Calcula el área del rectángulo en función del lado x del cuadrado. 
Una mujer tiene un estanque rectangular de 5x3 metros. Quiere hacer un camino alrededor del estanque como muestra el siguiente dibujo:. La anchura del camino ha de ser constante en todo el contorno.
Llama x a la anchura constante del camino. ¿Cuál será el área A del camino?
Calcula los valores de A cuando x es 0, 1, 2, 3 y 4. Escribe los valores en una tabla.
Dibuja unos ejes y dibuja los puntos (x, A).
Si el área del camino ha de ser de 30 m2, utiliza la gráfica y averigua el ancho x del camino.
¿Para qué valor de x es A = 100?
Representación gráfica de una función cuadrática
Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática, obtendríamos siempre una curva llamada parábola.
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Parábola del puente, una función cuadrática. |
Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática.
Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.
Estas características o elementos son:
Orientación o concavidad (ramas o brazos)
Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)
Punto de corte con el eje de ordenadas
Eje de simetría
Vértice
Orientación o concavidad
Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.
Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax2):
Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2 − 3x − 5
Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x2 + 2x + 3
Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.
Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X)
Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse.
Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos
f (x) = 0.
Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) = 0.
Entonces hacemos
ax² + bx +c = 0
Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:
Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas).
Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:
Que corte al eje X en dos puntos distintos
Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x)
Que no corte al eje X
Esta característica se puede determinar analizando el discriminante, ya visto en las ecuaciones cuadráticas.
Ver: Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas
Ver: PSU: Matemática;
Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y)
En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c).
Veamos:
 |
Representar la función f(x) = x² − 4x + 3
El eje de las ordenadas (Y) está cortado en +3
Representar la función f(x) = x² − 4x − 3
El eje de las ordenadas (Y) está cortado en −3
Observar que la parábola siempre cortará al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje de abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno.
Eje de simetría o simetría
Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría.
El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola.
Su ecuación está dada por:
Donde x1 y x2 son las raíces de la ecuación de segundo grado en x, asociada a la parábola.
De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola:
Vértice
Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas
La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría 
y la ordenada corresponde al valor máximo o mínimo de la función, 
según sea la orientación de la parábola (recuerde el discriminante)
Bloque de Algebra y Geometría
Vectores Geométricos en el plano
Cuando vas en coche por una carretera, una autovía o una autopista, habrás observado que aparecen unas informaciones, representadas por flechas, que indican unas direcciones.
De igual forma, en cada vía de circulación están delimitados unos carriles para circular en un sentido o en otro.
De estos ejemplos podrás deducir que hay magnitudes en las que la dirección y el sentido desempeñan un papel muy importante: estas son magnitudes dirigidas o vectoriales y se expresan mediante vectores.
Representación de un vector
Anteriormente vimos que un vector es un objeto matemático con dirección y magnitud. La palabra “vectores” se refiere a los elementos de cualquier Rn. En R1 = R el vector es un punto, que llamamos escalar. En R2 el vector es de la forma (x1, x2) y en R3 el vector es de la forma (x1, x2, x3).
En R2:
la suma de dos vectores se define por: sean a y b vectores en R2, entonces a + b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2).
el producto escalar se define por: sea α Є R y a un vector en R2 , entonces αa = α(a1, a2) = (α a1, α a2).
Veamos el significado geométrico de la suma de vectores y el producto escalar en R2.
SHAPE \* MERGEFORMAT
|
(a1 + b1, a2 + b2) |
|
b |
|
a |
-Gráficamente
Un vector se representa gráficamente como un segmento orientado, identificando sus extremos mediante dos letras mayúsculas, o colocado una sola letra minúscula en al segmento.
-Analíticamente
Lo expresamos con las dos letras mayúsculas de los extremos o con la letra minúscula, en ambos casos, una pequeña flecha encima de las letras para indica su carácter vectorial. A continuación, entre paréntesis, los componentes horizontales y vertical del vector
Elementos de un vector
En un vector se pueden distinguir los siguientes elementos:
-Punto de aplicación del vector: es el origen del vector.
-Dirección del vector: coincide con la dirección de la recta que lo contiene. Por tanto, la dirección del vector AB es la misma que la del vector BA, ya que una recta tiene una sola dirección.
-Sentido del vector: es la orientación que tiene el vector en las rectas. Una recta tiene dos sentidos opuestos entre sí.
El sentido del vector viene indicado por la punta de la flecha, así, el sentido del vector
AB es opuesto al sentido del vector BA.
-Modulo del vector: es la longitud del segmento que lo representa gráficamente e indica la intensidad o el valor numérico de la medida de la magnitud. Para indicar el modulo de un vector se escribe este entre dos barras verticales:
Modulo de AB AB
Componentes de un vector
Podemos definir la posición de un vector en el plano mediante sus componentes referidas a unos ejes de coordenadas.
Para hallar las componentes de un vector basta ver cuantas unidades avanza horizontal y verticalmente desde su origen asta su extremo. Para ello hallamos la diferencia entre las coordenadas del punto extremo y el punto origen del vector.
Por ejemplo: AB (8-2, 11-3) = AB (6,8)
Modulo de un vector
Conocidas las componentes de un vector, podemos calcular el valor de su modulo. Para ello basta con hallar la hipotenusa del triangulo rectángulo cuyos catetos son las componentes del vector. En los vectores de la pagina anterior:
AB = 36 + 64 = 10 CD = 9 +16 = 65
En general:
AB = ( Xb - Xa) + (Yb - Ya)
Equivalencia de vectores
Dos vectores son equipolentes cuando tiene el mismo modulo, la misma dirección y mismo sentido.
Para que dos vectores sean equipolentes, no es necesario que tengan el mismo punto de aplicación.
Si dos vectores tienen el mismo modulo, la misma dirección, pero sentido contrario, decimos que son vectores opuestos.
Los vectores AB y CD son equipolentes y escribimos: AB = CD.
Los vectores MN y PQ son opuestos y escribimos: MN = - PQ
Cuando un vector se traslada paralelamente a si mismo se obtiene un vector equipolente al primero.
Suma de vectores
- Gráficamente:
Para sumar gráficamente dos vectores trasladamos uno de ellos paralelamente a sí mismo hasta hacer coincidir su origen con el extremo del otro vector. La vector suma será el que se obtiene tomando como origen el del ventor fijo y como extremo el del que hemos trasladado.
También podemos obtener el vector suma haciendo coincidir los orígenes de los dos vectores en un origen común y construyendo con ellos un paralelogramo. La diagonal del paralelogramo representa el vector suma de ambos vectores.
- Analíticamente:
Sean los vectores u (3,8) y v (7,-3).
Las componentes del vector suma de estos dos vectores serán iguales a la suma de las componentes respectivas de los vectores.
u (3,8) + v (7,-3) = w (3+7,8-3) = w (10,5)
Diferencia de vectores
- Gráficamente:
Para hallar la diferencia entre dos vectores trasladamos paralelamente a sí mismo el opuesto del vector sustraendo hasta hacer coincidir su origen con el extremo del vector minuendo. El vector diferencia se obtiene uniendo el origen de vector minuendo con el extremo del vector opuesto al vector sustraendo. También podemos hacer coincidir los orígenes de los dos vectores y obtener el vector diferencia uniendo el extremo del vector sustraendo con el vector minuendo.
- Analíticamente:
Sean los vectores u (2,4) y v (5,3)
Obtenemos el vector diferencia sumando al vector minuendo el opuesto del vector sustraendo.
u (2,4) + (-v) (-5,-3) = w (2-5, 4-3) = w (-3,1)
Producto de un vector por un número real
El producto de un vector v por un número real h es otro vector h · v, que cumple las siguientes condiciones:
Tiene la misma dirección que v.
Si h es mayor que 0 tiene el mismo sentido que v.
Si h es menor que 0 tiene sentido opuesto
El modulo es: h · v = h · v
Producto escalar de dos vectores
Vamos a definir una operación llamada producto escalar, cuyo resultado, a diferencia de las anteriores, no es un vector.
El producto escalar de dos vectores es igual al producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman los dos vectores.
u · v = u · v cos (u, v)
Observa que el producto escalar de dos números de cómo resultado un numero real, pues tanto los módulos de los vectores como el coseno del ángulo que forman son números reales.
Según se deduce de la expresión anterior, el producto escalar es distinto de cero cuando u = 0, v = 0 y el ángulo que forma u con v no es de 90º o 270º.
Otra forma de expresar el producto escalar es en una función de las componentes de los vectores. El producto escalar de los vectores u (u1, u2) y v (v1 , v2 ) =u1 · v1 + u2 · v1
Ejemplo
Si u = 2 , v = 4 y el ángulo que forman los dos vectores es de 30º, vamos a calcular su producto escalar.
3
U · v = 2 · 4 · cos 30º =8 · 2 = 4 3
Del producto escalar de dos vectores se pueden deducir que la condición necesaria y suficiente para que dos vectores no nulos sean perpendiculares (también se les llama ortogonales), es que su producto escalar sea cero.
En efecto, si consideramos los vectores u (1, 0) y v (0, 2), observamos que el ángulo que forman es de 90º.
Sus módulos son , respectivamente, 1 y 2. si realizamos su producto escalar:
u · v = 1· 2 cos 90º, y como cos 90º = 0 u ·v = 0
Ángulo de dos vectores
A partir de la expresión del producto escalar se puede deducir el ángulo que forman dos vectores.
Despejando cos ( u, v) en u · v = u · v cos (u, v), resulta cos
u · u
(u, v) = u · u
Bloque de matemática discreta
La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.
Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.
Sin duda alguna uno de los métodos analíticos más viables económicamente para la solución de problemas de administración es el de la Programación Lineal, el cual tiene diversas aplicaciones y ha sido aplicado exitosamente en las industrias petrolera, automotriz, química, forestal, metalúrgica, agrícola, militar, etc. Incluso en mercadotecnia, se le ha empleado para seleccionar los medios de publicidad y los canales adecuados de distribución.
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Las rectas de nivel dan los puntos del plano en los que la función objetivo toma el mismo valor. Si la función objetivo es f(x,y) = ax + by + c, la ecuación de las rectas de nivel es de la forma: ax + by + c = 0 Variando k (o p) se obtienen distintos niveles para esas rectas y, en consecuencia, distintos valores para f(x,y). En un problema todas las rectas de nivel son paralelas, pues los coeficientes a y b de la recta ax + by = k son los que determinan su pendiente. Por tanto, si k1 es distinto de k2 , las rectas ax + by = k1 y ax + by = k2 son paralelas. Luego, trazada una cualquiera de esas rectas, las demás de obtienen por desplazamientos paralelos a ella. Si lo que se pretende es resolver un problema de programación lineal, los únicos puntos que interesan son los de la región factible, y las únicas rectas de nivel que importan son aquellas que están en contacto con dicha región. Como el nivel aumenta (o disminuye) desplazando las rectas, el máximo (o el mínimo) de f(x,y) se alcanzará en el último (o en el primer) punto de contacto de esas rectas con la región factible. |
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lo vemos con un ejemplo |
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Los programas lineales con dos variables suelen clasificarse atendiendo al tipo de solución que presentan. Éstos pueden ser:
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ax + by = k
Variables: x = nº de casas tipo A ; y = nº de casas tipo B
1800 . El Ayuntamiento impone x + y 
0 , y 
Maximizar la función Z = f(x,y) = 4x + 2y sujeta a las restricciones 2x + y 
Maximizar la función Z = f(x,y) = x + y sujeta a las restricciones y 
Maximizar la función Z = f(x,y) = 3x + 8y sujeta a las restricciones x + y
Bloque de Estadísticas y Probabilidades
Probabilidad.- La probabilidad es un método mediante el cual se obtiene la frecuencia de un suceso determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos.
Tipos de representaciones gráficas
Cuando se muestran los datos estadísticos a través de representaciones gráficas, se ha de adaptar el contenido a la información visual que se pretende transmitir. Para ello, se barajan múltiples formas de representación:
Diagramas de barras: muestran los valores de las frecuencias absolutas sobre un sistema de ejes cartesianos, cuando la variable es discreta o cualitativa.
Histogramas: formas especiales de diagramas de barras para distribuciones cuantitativas continuas.
Polígonos de frecuencias: formados por líneas poligonales abiertas sobre un sistema de ejes cartesianos.
Gráficos de sectores: circulares o de tarta, dividen un círculo en porciones proporcionales según el valor de las frecuencias relativas.
Pictogramas: o representaciones visuales figurativas. En realidad son diagramas de barras en los que las barras se sustituyen con dibujos alusivos a la variable.
Cartogramas: expresiones gráficas a modo de mapa.
Pirámides de población: para clasificaciones de grupos de población por sexo y edad.
Sea d el espacio muestral, que contiene n elementos {a1, a2, a3,.....,a n }, si a cada uno de los elementos de d le asignamos una probabilidad pi ³ 0, entonces estamos transformando este espacio muestral en un espacio finito de probabilidad; el que debe cumplir con las siguientes características:
Las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos de d deben ser mayores o iguales a cero, pi³0.
La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos de d debe de ser igual a 1.
Spi = 1
En caso de que no se cumpla con las características antes mencionadas, entonces no se trata de un espacio finito de probabilidad.
Ejemplos:
1.Se lanza al aire un dado normal, si la probabilidad de que aparezca una de sus caras es proporcional al número que ostenta, a) ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un número par?, b) ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un número primo?
Solución:
d = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
En este caso asignaremos las probabilidades como sigue;
p(aparezca el número 1) = p, p(aparezca el número 2) = 2p, .....,
p(aparezca el número 5) = 5p, p(aparezca el número 6) = 6p
Y por ser d un espacio finito de probabilidad, entonces,
p(d) = p + 2p + 3p + 4p + 5p + 6p =1
Por tanto, 21p = 1, luego, p = 1/21
Luego;
A = evento de que aparezca un número par = {2, 4, 6}
p(A)=p(2)+p(4) + p(6) = 2p + 4p + 6p = 12p = 12(1/21) = 12/21= 0.5714
B = es el evento de que aparezca un número primo = {1, 2, 3, 5}
p(B)=p(1) + p(2) + p(3) + p(5) = p + 2p + 3p + 5p = 11p = 11(1/21) = 11/21 = 0.5238
Una experiencia aleatoria consiste en preguntar a tres personas distintas, elegidas al azar, si son partidarias o no de consumir un determinado producto.
a) Escribe el espacio muestra asociado a dicho experimento, utilizando la letra "s" para las respuestas afirmativas y "n" para las negativas.
b) ¿Qué elementos del espacio muestral anterior constituyen el suceso " al menos dos de las personas son partidarias de consumir el producto"?
c) Describe el suceso contrario de "más de una persona es partidaria de consumir el producto"
